证明三角形内心判定方法
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篇1：证明三角形内心判定方法
在三角形中，三个内角的三条角平分线的相交于一点，这个点是这个三角形内切圆的圆心，也叫做三角形的内心。三角形内心到三角形三条边的距离相等。
三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
作∠B、∠C的角平分线于AC、AB交于F、D
CD与BF交于I，连接AI交BC并延长至E
由塞瓦定理有：
BF、CD为角平分线
由角平分线定理有：
由角平分线定理的逆定理有AE为∠A的角分线
篇2：证明三角形内心判定方法
角平分线的一个性质：角平分线分对边与该角的两边成比例。
在△ABC中，连接BO交AC于E，O是内心，所以BE是∠B的角平分线，而且AD过内心O(均为内心的定义所知)，所以在△ADB中BO是∠B的角平分线， 所以有AB/BD=AO/OD,
同理AO/OD=AC/CD
内心：三角形三条角平分线的交点，也是内接圆的圆心。
本题用到的定理的证明
△ABC中，AD是∠A的角平分线，D在BC上，abc是角的对边ABC，d=AD。由于正弦定理b/sinB=c/sinC d=R1sinB=R2sinC,R1是△ABD的外接圆半 径，R2是△ACD的外接圆半径，所以R1/R2=sinC/sinB=c/b.又BD=R1sinBAD， CD=R2sinCAD,∠CAD=∠BAD，所以BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC
篇3：证明三角形内心判定方法
设△ABC的内切圆为☉I(r)，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2
1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r
2、∠BIC=90°+∠BAC/2
3、在RtΔABC中,∠A=90°,三角形内切圆切BC于D，则S△ABC=BD×CD
4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c).
5、在△ABC中，内心的坐标是：
6、(欧拉定理)△ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，外心和内心的距离为d，则d?=R^2-2Rr
7、△ABC中：a,b,c分别为三边，S为三角形面积，则内切圆半径r=2S/(a+b+c)
内切圆
8、双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。
9、△ABC中，内切圆分别与AB，BC，CA相切于P，Q，R，则AP=AR=(b+c-a)/2， BP =BQ =(a+c-b)/2, CR =CQ =(b+a-c)/2,r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2。
10、三角形内角平分线定理：△ABC中，I为内心，∠BAC 、∠ABC、∠ACB的内角平分线分别交BC、AC、AB于A'、B'、C',则BA'/CA'=AB/AC,AB'/CB'=BA/BC,AC'/BC'=CA/CB
篇4：证明三角形外角判定方法
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等干180°
已知：如图已知△abc 求证：∠a+∠b+∠c=180°。
1、证法一:作bc的延长线cd，过点c作ce∥ba
则∠1=∠a，
∠2=∠b 又∵∠1+∠2+∠acb=180°
∴∠a+∠b+∠acb=180°
2、证法二:过点c作de∥ab
则∠1=∠b，∠2=∠a 又∵∠1+∠acb+∠2=180°∴∠a+∠acb+∠b=180°
3、证法三:在bc上任取一点d，作de∥ba交ac于e，df∥ca交ab于f
则有∠2=∠b，∠3=∠c,∠1=∠4,∠4=∠a ∴∠1=∠a 又∵∠1+∠2+∠3=180° ∴∠a+∠b+∠c=180°
4、证法四:作bc的延长线cd，在△abc的外部以ca为一边，ce为另一边画 ∠1=∠a，
于是ce∥ba,∴∠b=∠2 又∵∠1+∠2+∠acb=180° ∴∠a+∠b+∠acb=180°
5、证法五:作bc的延长线cd，在△abc的外部以ca为一边，ce为另一边画 ∠1=∠a，
于是ce∥ba,∴∠b=∠2 又∵∠1+∠2+∠acb=180° ∴∠a+∠b+∠acb=180°
6、证法六: 过点c作cd∥ba，则∠1=∠a ∵cd∥ba ∴∠1+∠acb+∠b=180°
∴∠a+∠acb+∠b=180°
篇5：证明三角形内角判定方法
已知：△ABC的三个内角是∠A,∠B,∠C.求证：∠A+∠B+∠C=1800.
证明：过点C作CD∥BA，则∠1=∠A
∵CD∥BA
∴∠1+∠ACB+∠B=180°
∴∠A+∠ACB+∠B=180°
已知：△ABC的三个内角是∠A,∠B,∠C.求证：∠A+∠B+∠C=1800.
证明:作BC的延长线CD，过点C作CE∥BA，
则∠1=∠A，∠2=∠B
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
已知：△ABC的三个内角是∠A,∠B,∠C.求证：∠A+∠B+∠C=1800.
证明:过点C作DE∥AB，则∠1=∠B，∠2=∠A
又∵∠1+∠ACB+∠2=180°
∴∠A+∠ACB+∠B=180°
已知：△ABC的三个内角是∠A,∠B,∠C.求证：∠A+∠B+∠C=1800.
证明:作BC的延长线CD，在△ABC的外部以CA为一边，
CE为另一边画∠1=∠A，于是CE∥BA,
∴∠B=∠2
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
篇6：证明三角形内角判定方法
已知：△ABC的三个内角是∠A,∠B,∠C.求证：∠A+∠B+∠C=1800.
证明：(1)选点O在△ABC内，则如图所示，
过点O分别作DE//AB,FG//BC,PQ//AC，即得：
∠POE=∠GPO=∠A，
∠POG=∠EFO=∠C，
∠EOF=∠PGO=∠B，
∵∠POE+∠POG +∠EOF=1800，
∴∠A +∠C +∠B=1800.
已知：△ABC的三个内角是∠A,∠B,∠C.求证：∠A+∠B+∠C=1800.
证明：若选点O在△ABC上且不为顶点,则如图所示，
过点O分作OQ//AC, OF//BC , 即得：
∠A=∠BOQ，∠C =∠OQB=∠QOF，∠B=∠AOF ,
∵∠BOQ+∠QOF+∠AOF=1800，
∴∠A +∠C +∠B=1800.
已知：△ABC的三个内角是∠A,∠B,∠C.求证：∠A+∠B+∠C=1800.
证明：若选点O在△ABC外,不在△ABC边的延长线上,则如图所示，
过点O作PQ//AC, 交BA、BC的延长线分别于P、Q,
再过点O作 EO//BC, DO//AB ,即得：
∠EOP=∠Q=∠C， ∠EOD=∠ODC=∠B，
∠DOQ=∠APO=∠BAC，
∵∠DOQ+∠EOD+∠EOP =1800，
∴∠ACB+∠B+∠BAC=1800.
从上面这八种三角形内角和定理证明方法当中，我们发现要想证明三角形的三个内角之和等于180°，就需要把问题转化到平角的大小为180°。因此，在解决问题的过程中，我们就想方设法将三角形的三个内角“转化成”一个平角，如利用添加辅助线的方法构造出一个平角，再运用一定技巧“移动”内角，将其构造成一个平角，这就是数学当中化归转化思想方法的运用。
篇7：证明三角形内角判定方法
三角形内角和公式
任意n边形内角和公式
任意n边形的内角和公式为θ=180°·(n-2)。其中，θ是n边形内角和，n是该多边形的边数。从多边形的一个顶点连其他的顶点可以将此多边形分成 个三角形，每个三角形内角和为180°，故，任意n边形内角和的公式是:θ=(n-2)·180°，?n=3，4，5，…。
三角形的五心
(1)重心:三条中线的交点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍;重心分中线比为1：2;
(2)垂心：三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。
(3)内心：三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。即内切圆的圆心，到三边距离相等。
(4)外心：是指三角形三条边的垂直平分线也称中垂线的相交点。是三角形的外接圆的圆心的简称，到三顶点距离相等。
(5)旁心：一条内角平分线与其它二外角平分线的交点(共有三个)，是三角形的旁切圆的圆心的简称。
篇8：证明三角形外角判定方法
三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做三角形的外角。
角形的外角性质
三角形的外角具有以下性质：
①顶点是三角形的一个顶点，一边是三角形的一边，另一边是三角形的一边的延长线。
②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。
③三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
④三角形的外角和是360° 三角形内角是两条线段的夹角 三角形的内角和为180度;三角形的一个外角等于另外两个内角的和;三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。
三角形的一个外角，等于与它不相邻的两个内角的和。
篇9：证明三角形外角判定方法
三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。外角的个数等于多边形边数的两倍。三角形外角和是360°。三角形有6个外角，四边形有8个外角;外角的个数等于多边形边数。
边数的两倍;任意多边形的外角和都是360°
1、在平面上三角形的内角和等于180°(内角和定理)。
2、在平面上三角形的外角和等于360°(外角和定理)。
3、在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。
4、一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。
5、在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。
6、在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。
的两倍;任意多边形的外角和都是360°。
篇10：证明三角形重心判定定义
1、重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为((X1+X2+X3)/3，(Y1+Y2+Y3)/3。
推论：由性质1可知GA+GB+GC=0
向量BO与向量BF共线，故可设BO=xBF,
根据三角形加法法则：向量AO=AB+BO
=a+ xBF=a+ x(AF-AB)
= a+ x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b.
向量CO与向量CD共线，故可设CO=yCD,
根据三角形加法法则：向量AO=AC+CO
=b+ yCD=b+y(AD-AC)
= b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b.
所以向量AO=(1-x)a+(x/2)b=(y/2)a+(1-y)b.
则1-x= y/2， x/2=1-y，
解得x=2/3,y=2/3.
